Einführung in die Fachmathematik

Teil 8: Der Lehrsatz des Pythagoras

In rechtwinkligen Dreiecken bestehen feste Maßbeziehungen zwischen den Seiten a, b und c: Das Quadrat über der langen Seite ist flächengleich der Summe der Quadrate über den beiden anderen Seiten. So kann die Länge einer Seite berechnet werden, wenn die Längen der beiden anderen Seiten bekannt sind. Die lange Seite, dem rechten Winkel gegenüber, ist die "Hypotenuse" c die sich "unter dem Winkel erstreckt". Die anderen beiden Seiten a und b bilden die Schenkel des rechten Winkels, sie werden "Katheten" genannt.

c² = a² + b²

Wenn in der Praxis fehlende Maße zu berechnen sind, werden die Größen selten so benannt wie in der Geometrie der Dreiecke. Deshalb sollten Sie die Formelzeichen an die Aufgabenstellung anpassen.

Berechnungsbeispiel 1

Eine Abdeckhaube in Form eines Kegels soll nach Skizze aus Blech angefertigt werden. Für die Abwicklung ist das Maß der Mantellinie s zu berechnen.

Wertetabelle:

r = 300 mm = 3 dm
h = 400 mm = 4 dm
s in dm und mm

Lösung:

s² = r² + h²


s = 5 dm = 500 mm

Die Mantellinie des Kegels ist 500 mm lang.

Erfolgskontrolle:

s² = r² + h²
(5 dm) ² = (3 dm) ² + (4 dm) ²
25 dm² = 9 dm² + 16 dm²

Ergebnis gesichert

Berechnungsbeispiel 2

Bei einem unzugänglichen rechteckigen Luftkanal wird durch eine Kontrollöffnung die Höhe des Strömungsquerschnitts mit 200 mm gemessen. Von der Mitte der Kontrollöffnung aus bis zu den oben liegenden Innenkanten des Luftkanals beträgt der Abstand jeweils 250 mm. Wie groß ist die Breite des Kanals?

Wertetabelle:

h = 200 mm = 2 dm
e = 250 mm = 2,5 dm
b in dm und mm

Lösung:

b = 3 dm = 300 mm

Der Kanal ist 300 mm breit.

Erfolgskontrolle:

6,26 dm² = 4 dm² + 2,25 dm²

Ergebnis gesichert

Berechnungsbeispiel 3

Eine Einstellschraube hat einen Schaftdurchmesser von 20 mm. Welche maximale Schlüsselweite kann ein Vierkant am Schaftende haben?

Wertetabelle:

d = 20 mm
s in mm

Lösung:

s = 14 mm

Die maximale Schlüsselweite des Vierkants ist 14 mm.

Erfolgskontrolle:

(14 mm)² = 2 · (10 mm)²

Ergebnis gesichert

Übungsaufgabe

(1) Der quadratische Rahmen aus Winkelstahl für eine Abdeckung hat ein Innenmaß von 500 mm x 500 mm. Vor der Montage soll seine Rechtwinkligkeit überprüft werden. Welches Maß muss die Diagonale (Eckenstrecke) haben?

(2)

Berechnen Sie die Höhe des Kegels.

Lösung auf Seite 15

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