Einführung in die Fachmathematik

Teil 1

Wer Anlagen erstellt, einstellt, wartet, instandsetzt und vergleicht, muss ihre Abmessungen und Betriebskennwerte berechnen können. So ist die Fachmathematik unmittelbare berufliche Bewährung. Es ist ein Irrtum zu glauben, dass die in der allgemeinbildenden Schule erlernten Kulturtechniken im Beruf nur angewendet werden müssen. Sie sind zu ergänzen und zu vertiefen um beruflich tüchtig zu sein. Dies macht sich die ikz-praxis zur Aufgabe und beginnt mit dieser Ausgabe eine neue Serie. Sie stellt das Basiswissen zur Verfügung, um auf der Baustelle - aber auch im privaten Alltag - die mathematischen Herausforderungen zu meistern. So wird beispielsweise die Prozentrechnung vermittelt, die Flächen- und Volumenberechnung oder das Umrechnen von einer Maßeinheit in die andere (z.B. cm² in m²). Wer jeden Teil dieser Serie konsequent sammelt, wird sich ein umfangreiches Nachschlagewerk zusammenstellen.

Fehler in technischen Berechnungen können fatale Auswirkungen haben. Um Fehler einzugrenzen wird in der Technischen Mathematik, von wenigen Ausnahmen abgesehen, mit Größengleichungen gerechnet.

Eine "Größe" ist ein Produkt mindestens aus Maßzahl mal Maßeinheit, z.B.:

"5 m" ist eine Größe,

die Maßzahl ist 5,

die Maßeinheit ein Meter [1 m].

5 m = 5 · 1 m

9	=	3	·	3
Produkt	=	Faktor	mal	Faktor

Nicht jede Basiseinheit ist in allen praktischen Fällen zweckmäßig. So ist z.B. weder für den Bohrungsdurchmesser einer Öldüse noch für die Entfernung bis zum Mond die Angabe in Metern angemessen.

Eine mehr als dreistellige Zahl ist ohne Hilfskonstruktion nicht vorstellbar. Mit Hilfe von "numerischen Vorsätzen", das sind dezimale Vielfache oder dezimale Teile, können Maße und Größenvorstellungen in Übereinstimmung gebracht werden.

Numerische Vorsätze (Auszug)

Vorsatz	Kurzzeichen	Vielfaches der Basiseinheit
Mega	M	1.000.000 = 10⁶
Kilo	k	1000 = 10³
Hekto	h	100 = 10²
Deka	da	10 = 10¹

Vorsatz	Kurzzeichen	Teil der Basiseinheit
Dezi	d	1/10 = 10^-1
Zenti	c	1/100 = 10^-2
Milli	m	1/1000 = 10^-3
Mikro	e	1/1.000.000 = 10^-6

Hat die Maßeinheit einen Vorsatz, ist eine "Größe" ein Produkt aus drei Faktoren:

Maßzahl · Vorsatz · Maßeinheit.

Z.B.:

"5 dm" ist eine Größe,

die Maßzahl ist 5,

der Vorsatz 0,1,

die Maßeinheit ein Meter [1 m].

5 dm = 5 · 0,1 · 1 m

Es gelten die Rechenregeln für Produkte, besonders zu beachten ist die Regel: "Punktrechnen vor Strichrechnen".

Berechnungsbeispiel 1

Gesucht ist die Gesamtlänge aus:

3 m + 5 dm + 7 cm =
3 · 1m + 5 · 0,1 · 1m + 7· 0,01 · 1m = (3 + 5 · 0,1 + 7 · 0,01) · 1 m =
(3 + 0,5 + 0,07) · 1 m = 3,57 m

vereinfacht gerechnet
3 m + 0,5 m + 0,07 m = 3,57 m

Am Beispiel erkennen Sie, dass Längenmaße mit Vorsätzen erst auf eine Maßeinheit (vorzugsweise die Basiseinheit) umgewandelt werden müssen, ehe sie addiert oder subtrahiert werden können.

Die Maßeinheiten für die Fläche sind aus den Längenmaßen durch Potenzieren mit der Hochzahl 2 (Quadrieren) abgeleitet.

dm² = dm · dm
(3 · 3)² = 3² · 3² = 9 · 9 = 81

Es gelten die Regeln für das Potenzrechnen:

Ein Produkt wird potenziert, indem jeder Faktor potenziert wird;

ein Bruch wird potenziert, indem Zähler und Nenner potenziert werden. Das Produkt (der Bruch) wird in Klammern gesetzt, die Zusammenschreibung von Vorsatz und Basiseinheit ersetzt die Klammern.

Berechnungsbeispiel 2

1 m² + 5 dm² =
1 m² + 5 · (0,1 · m)² =
1 m² + 5 · 0,01 · m² =
1 m² + 0,05 m² =
(1 + 0,05) · m² = 1,05 m²

oder

Die einzelnen Schritte der Berechnung müssen in der Praxis nicht alle aufgeschrieben werden; sie müssen aber so "gedacht" werden.

Die Maßeinheiten für den Raum sind aus den Längenmaßen durch Potenzieren mit der Hochzahl 3 (Kubieren) abgeleitet. Es gelten die Regeln für das Potenzieren: (Vertiefen Sie bitte das zuvor Gelernte!)

Berechnungsbeispiel 3

1 m³ + 5 dm³ =
1 m³ + 5 · (0,1 · m)³ =
1 m³ + 5 · 0,001 · m³ =
1 m³ + 0,005 m³ =
(1 + 0,005) · m³ = 1,005 m³

oder

Die Maßzahl entspricht entweder der Ablesung eines Messgerätes, bestimmten Vorgaben oder Erfahrungswerten. Die Maßzahl soll nie mit mehr Dezimalstellen angegeben werden als für die berufliche Praxis erforderlich ist.

Der Umfang eines kreisrunden Blechrohres von 100 mm Durchmesser wird ausgerechnet um die Zuschnittsmaße zu bestimmen. Wenn im Rechner für die Kreiszahl die p-Taste gedrückt wird, ist das Ergebnis 314,1592654 mm fern jeder Fachtätigkeit. Fachentsprechend ist die Lösung 314 mm.

Die Maßzahlen dürfen nicht zu großzügig gerundet werden, weil das Endergebnis nie genauer sein kann als die Ausgangswerte. Der Fachmann überprüft alle Maßzahlen, ob ihre Angaben für Abmessungen und Betriebskennwerte tauglich sind. Im Allgemeinen wird in Problemlösungen mit drei- bis vierstelligen Zahlen gerechnet. Die vorletzte Stelle ist genau, die letzte Stelle ggf. gerundet.

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